# 5 | Dezembro de 2001 | Editor: Luís Afonso (Portugal)
EDITORIAL

Está desde há muito determinado que a Matemática faz parte do nosso quotidiano, com frequência de um modo pouco evidente para a maioria de nós, mas em certas ocasiões assumindo uma expressão bem visível, nomeadamente no que diz respeito à Geometria, cujos exemplos abundam na Natureza e no meio que nos envolve. No fundo, trata-se apenas de aprendermos a olhar.

Nesta edição (sem equações!, fica desde já prometido) decidimos debruçar-nos precisamente sobre algumas formas geométricas e relações matemáticas que encontramos à nossa volta, numa tentativa de, através destes exemplos curiosos, procurarmos estimular um pouco mais o interesse pelo estudo de uma disciplina tantas vezes mal compreendida.

Como sempre, aguardamos sugestões e comentários, através do endereço comments@revista-temas.com

E, já sabe!, se realmente gostar, avise os amigos. Se não gostar, avise na mesma. Talvez seja interessante para algum deles. Até à próxima!

Luís Afonso
luis@revista-temas.com

Esta edição da CONTACTO tem o apoio da Revista TEMAS
http://www.revista-temas.com/

Para quem gosta de conhecer...

MATEMÁTICA, GEOMETRIA E MUNDO NATURAL

Texto:
Luís Afonso
Uma das primeiras características geométricas com que deparamos quando procuramos detectá-las na Natureza é, porventura, a simetria. Encontramo-la com facilidade, nomeadamente no seio do mundo animal. Quando, por exemplo, olhamos de frente para uma coruja, fitando-a nos olhos, estamos perante um exemplo de simetria bilateral relativamente a um eixo vertical imaginário que, passando pelo bico da ave, divide a sua cabeça em duas metades simétricas; o mesmo sucede quando olhamos de cima para o corpo de um insecto e verificamos que a sua metade esquerda é como que uma imagem espelhada da metade direita. Há no entanto excepções, como é o caso de uma espécie de caranguejos terrestres, os caranguejos-violinistas, cujos machos apresentam como adaptação uma das tenazes desmesuradamente maior que a outra. Mas existem também diferentes formas de simetria, como sejam a radial, presente nos frutos de dentes-de-leão, ou a pentagonal, bastante comum entre as plantas, embora relativamente rara entre os animais, ressalvando-se, naturalmente, exemplos como a conhecida estrela-do-mar.
Em cima, à esquerda:
A simetria bilateral é imediatamente detectada nesta imagem da cabeça
de uma coruja.
(Foto: John Foxx Images)

Em cima, à direita:
No dente-de-leão é facilmente perceptível o arranjo em simetria radial.
(Foto: John Foxx Images)

Mas a assimetria (ou não-simetria) é uma característica que também ocorre. Verificam-se mesmo alguns casos invulgares que têm deixado intrigados os observadores, como sucede, por exemplo, com a solha (parente do linguado e do halibute), um peixe achatado que vive junto aos fundos marinhos arenosos, onde procura camuflar-se, deitando-se sobre um dos lados e confundindo-se com a areia. Apresentando nos primeiros tempos de vida os olhos situados simetricamente de cada lado da cabeça, à medida que vai crescendo e manifestando preferência por se deitar sobre um dos flancos a fim de passar despercebida, o olho do lado sobre o qual a solha se deita, e que deixaria assim de ter qualquer utilidade, vai migrando até ficar posicionado na face oposta do corpo, ficando o peixe com os dois olhos do mesmo lado da cabeça, ao mesmo tempo que também a boca vai ficando torcida.

Podemos encontrar outras formas de assimetria, mas igualmente relacionadas com a matemática. Uma das mais frequentes, sobretudo entre as plantas, mas também presente no reino animal é a espiral, reconhecível no desenho das conchas de caracóis, búzios e afins. Mas mesmo dentro das espirais, existem diferentes tipos de curvas, sendo uma das geometricamente mais perfeitas a que é exibida pela concha do náutilo.

Em cima:
Dois exemplos de assimetria. Notem-se, no caso do peixe achatado, os dois olhos
na mesma face, assim como
a boca deformada
(desenho: Alfredo da Conceição / ICN), e, no caracol, a forma espiralada exibida pela casca.
(Foto: John Foxx Images)

Os números de Fibonacci e a Natureza

Fibonacci é o nome por que ficou conhecido o matemático medieval italiano Leonardo de Pisa, o qual, no decurso dos seus estudos, definiu uma sucessão numérica em que cada um dos termos que a compõem, para além dos dois primeiros, é igual à soma dos dois que lhe sejam imediatamente anteriores, ou seja: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. No entanto, seria apenas no século XIX que um outro matemático, o francês Edouard Lucas, baptizaria esta sucessão em homenagem a Fibonacci.

Mas que terá esta sequência tão particular de números que ver com a Natureza?

Os números que fazem parte da chamada «Sucessão de Fibonacci» surgem em muitas características do mundo natural, conforme o foram descobrindo, algo surpreendidos, os teóricos de Oitocentos.

Por exemplo, se olharmos bem para a flor de um girassol, para além de um exame botânico ou de uma apreciação estética, é também possível, por estranho que tal possa eventualmente parecer, apreciá-la sob uma perspectiva matemática. Naturalmente que o seu círculo central é a forma que mais imediatamente nos salta à vista. Porém, talvez por se tratar da figura geométrica mais elementar que existe e uma das que mais frequentemente se nos deparam (basta-nos observarmos o pôr-do-sol ou a lua cheia), de tão óbvia, por vezes mal nos lembramos de a referir. E no que se refere a algarismos, poderemos igualmente tender, digamos, a contar o número de pétalas, se este é par ou ímpar, e se ficam umas quantas à frente de outras. Mas, concretamente no caso do girassol, se nos detivermos mais atentamente a observar o disco da flor, acabaremos por reconhecer padrões visuais específicos no modo como estão dispostas as minúsculas sementes que o recobrem. De facto, estas encontram-se alinhadas de tal modo a partir do centro que formam linhas em espiral, tanto para a esquerda como para a direita. Mas para além disso, e estranhamente, se nos dermos ao trabalho de contar essas espirais, quer para um lado, quer para outro, chegaremos à conclusão de que o seu número não é idêntico, ou seja, a figura não é, afinal, tão simétrica como poderia parecer à primeira vista. Onde está então a relação matemática? Em algo ainda mais surpreendente. Ao contarmos quantas linhas espiraladas existem para a direita e para a esquerda numa flor de girassol chegaremos à conclusão de que os totais obtidos, embora diferentes, pertencem ambos à Sucessão de Fibonnaci.

Os curiosos números de Fibonacci são também, por vezes, designados por «números das pinhas», já que os encontramos também nas espirais formadas pelos padrões desenhados nos característicos frutos das coníferas. Podemos igualmente descortiná-los na espiral das cascas de caracol, nas curvaturas dos chifres de certos animais ou na distribuição dos rebentos das folhas nos caules de certas plantas. Aliás, particularmente aqui, são numerosos os exemplos em que podemos descobrir termos desta sucessão numérica – se pegarmos, por exemplo, numa haste de cerejeira, olharmos as folhas que dela brotam, e tomarmos a folha que se situe mais abaixo como o ponto de partida, à medida que formos subindo e contando as restantes folhas verificamos não só que estas se encontram dispostas em espiral em redor do caule, mas também que aquela que se situar alinhada com a que serviu de referência inicial corresponde, provavelmente, a um número de Fibonacci. No caso da cerejeira, trata-se do 5, enquanto que no ulmeiro é o 2 e na pereira o número em questão será o 8.

O mesmo sucede se considerarmos a quantidade de pétalas presentes em algumas flores, como lírios, íris e jarros (3), columbinas, rainúnculos amarelos e rosas silvestres (5) ou delfínios, cosmos e tormentilhas (8), ou ainda se analisarmos o número de estames e sépalas de outras espécies.

Em baixo:
Desenho de uma pinha, no qual são reconhecíveis as espirais formadas pela disposição dos elementos que a compõem.
(Desenho:
Alfredo
da Conceição / ICN)
Em cima, à esquerda:
Fotografia em que são particularmente visíveis os padrões em espiral, nos dois sentidos, exibidos pela planta.
(Foto: John Foxx Images)

Em cima, à direita:
O conhecido padrão hexagonal que encontramos nos favos das colmeias.
(Foto: John Foxx Images)

Figuras regulares, sólidos geométricos e curvas matemáticas

Outra das formas geométricas mais facilmente reconhecíveis na Natureza é o hexágono regular (figura com seis lados de igual comprimento e cujos ângulos têm todos a mesma amplitude). Tratando-se de uma das configurações que permitem aproveitar ao máximo o espaço – as outras são os triângulos equiláteros (ou seja, com os três lados e os três ângulos iguais) e os quadrados –, encontramo-la, por exemplo, nos favos de mel das colmeias ou nas «escamas» que recobrem a casca do ananás (as quais, para além do seu formato hexagonal, formam também espirais, mais uma vez de acordo com os números de Fibonacci).

O mundo mineral brinda-nos igualmente com inúmeros exemplos matemáticos, nomeadamente no que se refere a sólidos geométricos. Um dos mais famosos em todo o Mundo é a chamada Calçada dos Gigantes, um vasto aglomerado de colunas de rocha basáltica vulcânica, em forma de prismas de diferentes alturas, na sua maioria hexagonais, mas também pentagonais e ainda de polígonos irregulares com 4, 7, 8, 9 e 10 lados, que se erguem junto à costa setentrional do Planalto de Antrim, na Irlanda do Norte.

Também a esfera é fácil de encontrar na Natureza. E, curiosamente, na Antiguidade Clássica, ficou famosa a medição do perímetro terrestre por Eratóstenes, cerca do ano 200 a. C., com uma margem de erro inferior a 2% (que pode ser considerada desprezível, atendendo aos meios disponíveis na época), simplesmente através de cálculos geométricos e tomando como base o conceito de que a superfície do planeta era redonda. Eratóstenes deduziu tal facto ao verificar que, na localidade onde se encontrava e exactamente ao meio-dia do solstício de Verão, uma vara enterrada verticalmente no solo não projectava qualquer sombra, por o Sol se encontrar a pique sobre ela, enquanto que outra vara idêntica, mas posicionada a cerca de 800 quilómetros da primeira, já apresentava uma sombra projectada no solo, o que só seria possível se se tratasse de uma superfície curva, neste caso praticamente esférica.

Em matemática é também estudado um conjunto particular de figuras definidas por linhas curvas que podem ser obtidas pela intersecção de superfícies cónicas com planos. E precisamente por esse motivo tais figuras são habitualmente conhecidas por «secções cónicas». São elas o círculo (quando o plano atravessa um cone perpendicularmente ao eixo deste) e a elipse – ambas curvas fechadas –, e ainda a parábola e a hipérbole – curvas abertas. De resto, o cone propriamente dito pode também ser facilmente reconhecido na Natureza, nomeadamente no formato característico de muitos vulcões.

Ao que se sabe, as secções cónicas começaram a ser estudadas pelo menos no século III a. C., muito embora tenham sido particularmente utilizadas pelos matemáticos e astrónomos do século XVII quando estes procuravam equacionar movimentos de vários objectos naturais.

No início do Renascimento, Nicolau Copérnico afirmava que as órbitas dos planetas então conhecidos eram circulares. Algum tempo mais tarde, Johannes Kepler e depois Edmund Halley descreveram as órbitas de planetas e cometas, recorrendo à elipse; outros corpos celestes percorrem trajectórias em forma de hipérbole; Galileu Galilei explicou o movimento de projécteis na Terra por intermédio da parábola (também importante para determinar o alcance e precisão das armas de arremesso), que é igualmente a figura da curva definida por um jacto de água projectada.

Mas, para além das cónicas, encontramos na Natureza outros tipos de curvas, como a catenária, muito semelhante à parábola – e que podemos distinguir, por exemplo, ao observarmos uma liana suspensa pelos dois extremos –, ou a conhecida oval, cuja designação imediatamente denuncia a sua origem.


Geometria microscópica

Muitas mais formas geométricas abundam no mundo natural em nosso redor, embora nem sempre visíveis a olho nu. Ainda entre os minerais, a geometria está particularmente presente, sobretudo em elementos que tendem a cristalizar, ainda que apenas por pouco tempo. De resto, podemos facilmente verificar isso mesmo, sempre que observamos flocos de neve e gelo. Todos eles exibem um padrão que poderá ser mais ou menos complexo, mas sempre de base hexagonal, o que se torna verdadeiramente assombroso, sobretudo se dermos crédito à crença generalizada segundo a qual não existem dois flocos iguais (na realidade, tal parece já ter sido desmentido por algumas excepções; contudo a raridade desses achados não diminui em nada a magnitude do número de combinações possíveis que podemos encontrar nos cristais gelados). E, obviamente, entre os cristais de minério propriamente ditos, as formas e figuras geométricas encontram-se profusamente representadas.

Para finalizar, mencionaremos apenas um outro tipo de estrutura geométrica, invisível, porém inevitavelmente presente sempre que nos encontramos perante qualquer manifestação de vida, tal como a conhecemos: a dupla hélice de Ácido Desoxirribonucleico, mais conhecido por ADN, existente no núcleo de todas as células vivas.

Aos casos aqui citados, inúmeros mais poderiam por certo ser acrescentados. Afinal, e para os mais cépticos, talvez a Matemática esteja mesmo muito mais presente no nosso dia-a-dia do que aquilo que muitos de nós julgamos, pelo que, assim sendo, se calhar valeria a pena procurar conhecê-la mais de perto, para melhor entendermos como funciona o mundo que nos rodeia.

Bibliografia Consultada:

PAPPAS, THEONI
Fascínios da Matemática,1.ª Edição,
Editora Replicação, Lda., Lisboa, 1998

Ao encontro da Natureza,
1.ª Edição, Selecções do Reader's Digest, S.A.R.L., Lisboa, 1978

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